電気の基礎【令和7年問4(1〜6)】

問題

問題4 次の各文章の [ 1 ] ～ [ 12 ] の中に入れるべき最も適切な字句等をそれぞれの解答群から選び、その記号を答えよ。(配点計 50 点)

(1) 図1に示すような角周波数 $ω [rad/s]$ の電圧 $V̇₁ [V$] を一次側に印加すると、二次側電圧が $V̇₂ [V]$となる損失のない変圧器を考える。一次側の電流を$İ₁ [A]$、二次側の電流を $İ₂ [A]$ とし、一次側の自己インダクタンスを $L₁ [H]$、二次側の自己インダクタンスを $L₂ [H]$、相互インダクタンスを $M [H]$とする。

1. 一次側電流 $İ₁$ と二次側電流 $İ₂$ を用いて、一次側電圧 $V̇₁$ は [ 1 ] [V] と表される。同様に、二次側電圧 $V̇₂$ は [ 2 ] [V] と表される。

＜ [ 1 ] 及び [ 2 ] の解答群 ＞

 ア $jωL₁İ₁$　　　　　　　　イ $jωL₂İ₂$　　　　　　　ウ$jωL₁İ₁ + jωL₂İ₂$

 エ$jωL₁İ₁ – jωMİ₂$　 　　オ $jωMİ₁ – jωL₂İ₂$

2.この変圧器は図２に示すコイル a、b 及び c から成る等価回路で表すことができる。
1の関係を用いると、図２の a のインダクタンスは [ 3 ] [H]、b のインダクタンスは [ 4 ] [H]、c のインダクタンスは [ 5 ] [H] と表すことができる。

＜ [ 3 ] ～ [ 5 ] の解答群 ＞
ア $L₁$　　　　　イ $L₂$　　　　　ウ $M$　　　　　エ$L₁ – L₂$　　　　　オ $L₁ – M$

カ $L₂ – M$　　キ$\frac {L₁}{M}$ 　　　　　ク $\frac {M}{L₂}$　　 ケ $L₁L₂ – M²$

3.この変圧器において$L₁L₂ = M²$の関係がある場合、一次側と二次側の電圧の関係及び一次側と二次側の電流の関係は、$n$ を比例定数として $V̇₂ = nV̇₁、İ₁ = nİ₂$ と表すことができる。このとき、$n$ は [ 6 ] と表される。

＜ [ 6 ] の解答群 ＞

 ア $\frac {L₁}{M}$　　　 イ $\frac{M}{L₁ – M}$　　　　ウ $\frac{M}{L₂ – M}$　　　　エ $\frac{M – L₂}{L₁ – M}$

解説

[ 1 ] 及び [ 2 ]
ドットに対してどの向きに電流が流れるかにより、符号が決まる
＋の場合：$İ₁$ ，$İ₂$の両方の電流がドットに「入る」または「出る」
−の場合：片方が入り、片方が出る
よって、$V̇₁$＝$jωL₁İ₁ − jωMİ₂$　
　　　　$V̇₂$＝$jωMİ₁ − jωL₂İ₂$

[ 3 ] ～ [ 5 ]
図2より$I_1$はaとbを流れ、$I_2$はbとcを流れている
bは$I_1$,$I_2$の流れる向きが逆であるため、　a=$I_1$　b=$I_1-I_2$　c=$I_2$
$V_1=jwaI_1+jwb(I_1-I_2)\\$
$=jwaI_1+jwbI_1-jwbI_2$
$=jw(a+b)I_1-jwbI_2$
$V_2=jwb(I_1-I_2)-jwcI_2$
$=jwbI_1-jwbI_2-jwcI_2$
$=jwbI_1-jw(b+c)I_2$
【1】【2】の式と比べた時、今回求めた$V_1$と$V_2$の式と合うようなa,b,cを求める